《高等数学》1、2（工科）课程教学大纲

学时：192 学分：12

适用对象：工科

先修课程：初等数学

考核要求：闭卷笔试，总评成绩为期末考试成绩与平时成绩结合

使用教材及主要参考书：

同济大学主编，《高等数学》，高等教育出版社，2002年

复旦大学主编，《数学分析》，高等教育出版社，1983年

武忠祥主编，《数学考研历年真题分类解析》，西安交通大学出版社，2005年

一、课程的性质与任务

高等数学是为高等农业院校工科类各专业学生开设的一门重要基础课程.它是学生掌握数学工具的主要课程,是学生培养理性思维的重要载体.通过学习使学生掌握相关的基础知识、基本理论,有较熟练的运算技能,并能运用数学分析的方法和原理解决实际问题.

二、教学目的与基本要求

教学目的：通过本门课程的教学,不仅使学生掌握高等数学的基础知识和基本技能,为学习其他相关课程打基础;而且使学生掌握数学的思维方式和特点,培养学生用数学的意识,为终身学习打下扎实的基础.

基本要求：（1）知识目标：了解函数的性质;理解函数的概念;掌握函数的表示法,理解极限的精确定义;掌握导数和变化率之间的关系；理解定积分和求和的关系；熟练进行求导、不定积分、定积分等各种运算;掌握向量代数和空间解析几何的相关知识，熟练地进行向量运算；掌握多元函数的求导法，熟练地进行二重积分、三重积分、曲线积分及曲面积分等各种运算；掌握无穷级数的相关内容，熟练地进行各种运算；掌握微分方程的相关概念,熟练的解微分方程;（2）能力目标：熟练掌握将高等数学知识运用到函数作图、求面积、求体积、求极值等各种应用中, 掌握用微分方程解决一些简单的应用问题,培养学生分析问题、解决问题的能力及用数学的意识.

三、学时分配

章节	课程内容	学时
1	极限与连续	28
2	导数与微分	12
3	微分中值定理与导数的应用	14
4	不定积分	15
5	定积分	15
6	定积分的应用	6
7	空间解析几何与向量空间	12
8	多元函数微分及应用	22
9	重积分	12
10	曲线积分与曲面积分	20
11	无穷级数	16
12	微分方程	20

四、教学中应注意的问题

（1） 学生初等数学知识的储备；

（2） 前后知识的衔接，尤其教材上、下册内容间的联系；

（3） 学生思维能力，计算能力的培养。

五、教学内容

第一章 极限与连续

1．基本内容：

第一节 映射与函数

一、集合

二、映射

三、函数

第二节 数列的极限

一、数列极限的定义

二、收敛数列的性质

第三节 函数的极限

一、函数极限的定义

二、函数极限的性质

第四节 无穷小和无穷大

一、无穷小

二、无穷大

第五节 极限运算法则

第六节 极限存在准则 两个重要极限

第七节 无穷小的比较

第八节 函数的连续性与间断点

一、函数的连续性

二、函数的间断点

第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性

一、连续函数的和、差、积、商的连续性

二、 反函数与复合函数的连续性

三、 初等函数的连续性

第十节 闭区间上连续函数的性质

一、有界性与最大值最小值定理

二、零点定理与介质定理

2．教学基本要求：

(1) 使学生理解函数的相关概念,掌握基本初等函数;

(2) 使学生理解极限的概念,掌握极限的性质及四则运算法则,能熟练的求函数及数列的极限;

(3) 使学生理解无穷小和无穷大的概念,掌握无穷小的比较方法,会用等价无穷小求极限;

(4) 使学生理解函数连续性的概念,会判别函数间断点的类型,了解闭区间上连续函数的性质.

3．教学重点难点：

重点：求极限的方法，函数的连续性与间断点；难点：求幂指函数的极限，函数的连续性与间断点。

第二章 导数与微分

1．基本内容：

第一节 导数与微分的概念

一、引例

二、导数的定义

三、导数的几何意义

四、函数可导性与连续性的关系

第二节 函数的求导法则

一、函数的和、差、积、商的求导法则

二、反函数的求导法则

三、复合函数的求导法则

四、基本求导法则与导数公式

第三节 高阶导数

第四节 隐函数以及参数方程所确定的函数的导数 相关变化率

一、隐函数的导数

二、由参数方程所确定的函数的导数

三、相关变化率

第五节 函数的微分

一、微分的定义

二、微分的几何意义

三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则

四、微分在近似计算中的应用

2．教学基本要求：

(1) 使学生理解导数和微分的概念,理解导数的几何意义,掌握函数的可导性与连续性之间的关系;

(2) 使学生掌握导数和微分的四则运算法则,掌握基本初等函数的导数公式,会熟练的求函数的导数及微分;

(3) 使学生了解高阶导数的概念,会求简单函数的阶导数;

(4) 使学生会求分段函数的一阶导数;

(5) 使学生会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶和二阶导数,会求反函数的导数.

3．教学重点难点：重点：求函数的导数与微分，分段函数的导数；难点：分段函数、隐函数和由参数方程所确定的函数的导数，高阶导数。

第三章 微分中值定理与导数的应用

1．基本内容：

第一节 微分中值定理

一、 罗尔定理

二、 拉格朗日中值定理

三、 柯西中值定理

第二节 洛必达(L`Hospital)法则

第三节 泰勒公式

第四节 函数单调性与曲线的凹凸性

一、 函数单调性的判定法

二、 曲线的凹凸性与拐点

第五节 函数的极值与最大值最小值

一、 函数的极值及其求法

二、 最大值最小值问题

第六节 函数图形的描绘

2．教学基本要求：

(1) 使学生理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理,了解柯西中值定理;

(2) 使学生掌握用洛必达(L`Hospital)法则求未定式极限的方法;

(3) 使学生熟练掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法,掌握函数的最大值和最小值的求法及其简单的应用;

(4) 使学生掌握用导数判断函数图形的凹凸性,会求函数图形的拐点,了解函数图形的描绘.

3．教学重点难点：

重点：用洛必达(L`Hospital)法则求未定式极限，利用导数判断函数性状，利用中值定理证明不等式、判断方程根的情况；难点：利用中值定理证明不等式、判断方程根的情况。

第四章 不定积分

1．基本内容：

第一节 不定积分的概念与性质

一、 原函数与不定积分的概念

二、 基本积分表

三、 不定积分的性质

第二节 换元积分法

一、 第一类换元积分法

二、 第二类换元积分法

第三节 分部积分法

第四节 有理函数的积分

一、 有理函数的积分

二、 可化为有理函数的积分举例

2．教学基本要求：

(1) 使学生理解原函数和不定积分的概念;

(2) 使学生掌握不定积分的基本公式,掌握换元积分法及分部积分法,能熟练的求各类函数的不定积分.

3．教学重点难点：

重点：求不定积分的方法；难点：三角函数有理式的积分，无理函数的积分。

第五章 定积分

1．基本内容：

第一节 定积分的概念与性质

一、定积分问题举例

二、定积分定义

三、定积分的性质

第二节 微积分基本公式

一、变速直线运动中位移函数与速度函数之间的关系

二、积分上限的函数及其导数

三、牛顿——莱布尼茨（Newton—Leibniz）公式

第三节 定积分的换元法和分部积分法

一、定积分的换元法

二、定积分的分部积分法

第四节 反常积分

一、无穷限的反常积分

二、无界函数的反常积分

2．教学基本要求：

(1) 使学生理解定积分的概念,掌握定积分的性质;

(2) 使学生能熟练的运用各种方法求函数的定积分;

(3) 使学生了解广义积分的概念并会计算.

3．教学重点难点：重点：求函数的定积分的方法，积分上限的函数及其导数；难点：积分上限函数的导数，广义积分。

第六章 定积分的应用

1. 基本内容：

第五节 定积分的元素法

第六节 定积分在几何学上的应用

一、平面图形的面积

二、体积

三、平面曲线的弧长

2．教学基本要求：

(1) 使学生掌握定积分的元素法;

(2) 使学生掌握用定积分表达和计算平面图形的面积、旋转体的体积.

3．教学重点难点：

重点：计算平面图形的面积、旋转体的体积；难点：计算立体体积。

第七章 空间解析几何与向量代数

1．基本内容：

第一节 向量及其线性运算

一、向量的概念

二、向量的线性运算

三、空间直角坐标系

四、利用坐标作向量的线性运算

五、向量的模、方向角、投影

第二节 数量积 向量积 混合积

一、两向量的数量积

二、两向量的向量积

第三节 曲面及其方程

一、曲面方程的概念

二、旋转曲面

三、柱面

四、二次曲面

第四节 空间曲线及其方程

一、空间曲线的一般方程

二、空间曲线的参数方程

三、空间曲线在坐标面上的投影

第五节 平面及其方程

一、平面的点法式方程

二、平面的一般式方程

三、两平面的夹角

第六节 空间直线及其方程

一、空间直线的一般方程

二、空间直线的对称式方程与参数方程

三、两直线的夹角

四、直线和平面的夹角

五、杂例

2．教学基本要求：

(1) 使学生理解空间直角坐标系,理解向量的概念及其表示方法;

(2) 使学生掌握向量的相关运算,了解两个向量垂直、平行的条件;

(3) 使学生理解单位向量、方向角与方向余弦、向量的坐标表达式,掌握用坐标表达式进行向量运算的方法;

(4) 使学生了解曲面方程和空间曲线方程的概念,了解常用二次曲面方程及其图形,会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程;

(5) 使学生了解空间曲线的参数方程和一般方程,了解空间曲线在坐标平面上的投影,并会求其方程;

(6) 使学生掌握平面方程和直线方程及其求法;

(7) 使学生会求各类夹角,并会利用平面、直线的相互关系解决有关问题;

(8) 使学生会求点到直线和点到平面的距离.

3．教学重点难点：重点：平面、直线、曲线和曲面的方程；难点：曲面方程及曲线在坐标平面上的投影。

第八章 多元函数微分法及其应用

1．基本内容：

第一节 多元函数的基本概念

一、平面点集 n维空间

二、多元函数概念

三、多元函数极限

四、多元函数的连续性

第二节 偏导数

一、偏导数的定义及其计算法

二、高阶偏导数

第三节 全微分

三、全微分的定义

四、全微分在近似计算中的应用

第四节 多元复合函数的求导法则

第五节 隐函数求导公式

一、一个方程的情形

二、方程组的情形

第六节 多元函数微分学的几何应用

一、空间曲线的切线和法平面

二、曲面的切平面和法线

第七节 方向导数与梯度

一、方向导数

二、梯度

第八节 多元函数的极值及其求法

一、多元函数的极值及最大值、最小值

二、 条件极值 拉格朗日乘数法

2．教学基本要求：

(1) 使学生了解多元函数的概念;

(2) 使学生了解二元函数的极限与连续性的概念,以及有界闭区域上连续函数的性质;

(3) 使学生理解多元函数偏导数和全微分的概念,掌握多元复合函数的一阶、二阶偏导数及全微分，掌握隐函数的求导法则;

(4) 使学生理解方向导数与梯度的概念并会计算;

(5) 使学生了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念;

(6) 使学生了解多元函数极值和条件极值的概念,掌握多元函数极值存在的必要条件,了解二元函数极值存在的充分条件,会求二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值,会求简单多元函数的最大值和最小值,并会解决一些简单的应用问题.

3． 教学重点难点：重点：多元函数偏导数与全微分的求解方法；难点：多元函数偏导数存在、可微分和连续之间的关系。

第九章 重积分

1．基本内容：

第一节 二重积分的概念和性质

一、二重积分的概念

二、二重积分的性质

第二节 二重积分的计算法

一、利用直角坐标计算二重积分

二、利用极坐标计算二重积分

第三节 三重积分

一、三重积分的概念

二、三重积分的计算

第四节 重积分的应用

一、曲面的面积

二、质心

三、转动惯量

四、引力

2．教学基本要求：

(1) 使学生了解二重积分、三重积分的概念和性质,了解二重积分的中值定理;

(2) 使学生掌握二重积分、三重积分的计算.

3．教学重点难点：

重点：二重积分、三重积分的计算；难点：二重积分、三重积分的计算。

第十章 曲线积分与曲面积分

1. 基本内容：

第一节 对弧长的曲线积分

一、对弧长的曲线积分的概念

二、对弧长的曲线积分的性质

三、对弧长的曲线积分的计算方法

第二节 对坐标的曲线积分

一、对坐标的曲线积分的概念

二、对坐标的曲线积分的性质

三、坐标的曲线积分的计算方法

四、两类曲线积分的联系

第三节 格林公式及其应用

一、格林（Green）公式

二、平面上曲线积分与路径无关的条件

二、 二元函数的全微分求积

第四节 对面积的的曲面积分

一、对面积的的曲面积分的概念与性质

二、对面积的的曲面积分的计算法

第五节 对坐标的的曲面积分

一、对坐标的曲面积分的概念与性质

二、对坐标的曲面积分的计算法

三、两类曲面积分之间的关系

第六节 高斯公式 通量与散度

一、高斯（Gauss）公式

二、通量与散度

第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度

一、斯托克斯（Stokes）公式

二、 环流量与旋度

2. 教学基本要求：

(1) 使学生理解两类曲线积分的概念,了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系,掌握两类曲线积分的计算方法;

(2) 使学生掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件,会求全微分的原函数;

(3) 使学生了解两类曲面积分的的概念,了解两类曲面积分的性质及两类曲面积分的关系,掌握两类曲面积分的计算方法,会用高斯公式、了解斯托克斯公式;

(4) 使学生了解散度与旋度的概念;

(5) 使学生会用重积分、曲线积分和曲面积分求一些几何量与物理量.

3.教学重点难点：

重点：两类曲线积分与两类曲面积分的计算；难点： 格林公式、高斯公式、斯托克斯公式的应用。

第十一章 无穷级数

１. 基本内容：

第一节 常数项级数的概念和性质

一、常数项级数的概念、收敛与发散

二、收敛级数的和的概念

三、收敛级数的基本性质

第二节 常数项级数的审敛法

一、正项级数及其审敛法

二、交错级数及其审敛法

三、绝对收敛和条件收敛

第三节 幂级数

一、函数项级数的概念

二、幂级数及其收敛性

三、幂级数的运算

第四节 函数展开成幂级数

一、泰勒级数

二、函数展开成幂级数

第五节 函数幂级数展开式的应用

一、近似计算

二、欧拉公式

b) 傅里叶级数

一、 三角级数 三角函数系的正交性

二、 函数展开成傅里叶级数

三、 正弦级数和余弦级数

c) 一般周期函数的傅里叶级数

一、 周期为的周期函数的傅里叶级数

2. 教学基本要求：

(1) 使学生理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件;

(2) 使学生掌握几何级数与级数的收敛与发散的条件;

(3) 使学生掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法,会用根值判别法;

(4) 使学生掌握交错级数的莱布尼茨判别法;

(5) 使学生了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念,以及绝对收敛与收敛的关系;

(6) 使学生了解函数项级数的收敛域及和函数的概念;

(7) 使学生理解幂级数收敛半径的概念,并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法;

(8) 使学生了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质(和函数的连续性、逐项积分和逐项微分),会求一些幂级数在收敛区间内的和函数;

(9) 使学生了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件;

(10) 使学生掌握的麦克劳林展开式,并会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数;

(11) 使学生了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理,会将定义在上的函数展开为傅里叶级数,会将定义在上的函数展开为正弦级数和余弦级数,会写出傅里叶级数的和的表达式.

3. 教学重点难点：　重点：常数项级数的审敛法，幂级数的收敛域，函数展开成幂级数；难点：求幂级数的和函数

第十二章 微分方程

1. 基本内容：

第一节 微分方程的基本概念

第二节 可分离变量的微分方程

第七节 齐次方程

一、齐次方程

二、可化为齐次的方程

第八节 一阶线性微分方程

一、线性方程

二、 伯努利(Bernoulli)方程

第五节 全微分方程

第六节 可降阶的高阶微分方程

一、型的方程

二、型的方程

三、型的方程

第七节 高阶线性微分方程

一、二阶线性微分方程举例

三、 线性微分方程的解的结构

第八节 常系数齐次线性微分方程

d) 常系数非齐次线性微分方程

一、型

二、型

第十节 微分方程的幂级数解法

2. 教学基本要求：

(1) 使学生了解微分方程的相关概念;

(2) 使学生掌握可分离变量的微分方程和一阶线性微分方程的解法;

(3) 使学生会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程,会用简单的变量代换解某些微分方程;

(4) 使学生会用降阶法解下列微分方程:

;

(5) 使学生理解线性微分方程解的性质及解的结构的定理;

(6) 使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法,并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程;

(7) 使学生会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数,以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程.

3.教学重点难点：

重点：伯努利方程，可降阶的高阶微分方程，常系数齐次线性微分方程，常系数非齐次线性微分方程；难点：常系数非齐次线性微分方程。