高等数学考研大纲超出教学大纲的部分

（1987教学大纲称为旧大纲，2004教学大纲称为新大纲）的内容不少，大致罗列如下：

　　（1）平面曲线的斜渐近线；

　　（2）旋转曲面面积；

　　（3）侧压力（旧的教学大纲没有，新的教学大纲更为模糊）；

　　（4）平均值；

　　（5）向量的混合积；

　　（6）点到直线的距离；

　　（7）隐函数的存在定理；

　　（8）二元函数的二阶泰勒公式；

　　（9）二元函数极值的充分条件；

　　（10）多元函数积分的应用中的转动惯量、引力（旧的教学大纲没有，新的教学大纲更为模糊）；

　　（11）广义重积分（“伽玛函数”和“贝塔函数”）；

　　（12）伯努利方程（旧的教学大纲还有，但新的教学大纲已经没有了）；

　　（13）欧拉方程；

　　（14）正项级数的根值判别法。

　　下面作几点说明：

　　一、关于（有极限的）函数的局部保号性问题等要求，教学大纲和考研大纲都不可能写到如此细，然而在权威的《考纲解析》就会写得非常明确仔细。

　　二、关于“液体侧压力”、“物体的转动惯量”、“向量的混合积”的问题：无论新旧教学大纲都没有该内容的要求，但由于有一定权威性的课委会试题库有这个内容的题，所以不少学校的教学实施大纲及教材上都将它列为基本要求，而不标超教纲记号，所以对复习还不会有多大影响。而“引力”问题由于题库内没有这样的问题，教学实施大纲更不可能考虑这一内容了，这是需要大家注意的。

　　三、关于“二元函数极值的充分条件”的问题：在高等数学教学大纲内无此明确要求，它应该认为是隐含在“会求二元函数的极值”要求内。考研大纲明确是“了解”二元函数极值存在的充分条件。

　　考生们对两个意义相近的汉字“会”与“了解”的具体区别可能不太清楚，根据我个人多年对教学大纲与考研大纲研究的理解，为大家作如下解释：“会”是基本运算上的要求，具体就是指要记住公式并会正确使用：“了解”是基本概念上的要求，具体就是指要记住公式并懂得其原理。运算上会使用较为容易，概念上懂原理恐怕有点难，这里必须掌握两点：

　　（1）二次型的正定性；

　　（2）函数在连续点的局部保号性。

　　请详细阅读《大学数学应用题精讲》P.243.

　　四、关于“多重广义积分问题”，教学大纲上是没有要求的。在考研大纲内，数学一对此没有明确要求，但数学三、四对此是有要求的，虽然也不太具体明确，然而在权威的《考纲解析》中就写得非常明确。

　　这一点要请考三、四的同学特别注意，《考纲解析》中还包含了“伽玛函数”和“贝塔函数”（考数学一的同学，实际上也要注意，因为它主要用在概率论的计算中）。

　　五、关于“二次曲面的分类”问题，绝对是个大问题，在高等数学教学大纲内不可能提及这个属于线性代数的问题，而线性代数课程中也不包含此内容，而这类渗透高数与线代两门知识的问题恰是考研的一个重点问题，历年考研多次考到，在2007年（估计2008不会有大变化）的权威的《考纲解析》对此也写得非常明确（见P.293例6.11和P.295例6.14），而在本人所编写考研数学复习辅导书《大学数学应用题精讲》一书中有较多的例子和习题。

　　根据专家意见新的教学大纲已将向量代数及空间解析几何内容列入线性代数课程，在这个基础上，线性代数课程内就明确提出了“二次曲面的分类”要求，由于协调上的问题大多数学校还未按新大纲执行，所以“二次曲面的分类”问题，尤其要引起广大考生特别是数学二的考生注意。

　　那么是不是有“教学大纲内有，考研大纲内没有”的要求呢？有，而且还不少！

　　这就是考研大纲中近年删去全部数值计算部分内容[有：包括二分法求根、利用一元微分（或多元全微分）计算函数的近似值（线性近似）、牛顿切线法、积分的近似计算、利用级数计算函数的近似值及微分方程的幂级数解、微分方程的数值解在内的所有近似计算].而关于这些内容，高数教学大纲在历经修改中，对此反而逐渐有所加强。