《高等数学》（农科）课程教学大纲

学时：80 学分：4

适用对象：农学系、动科系、园艺系、水产系

先修课程：初等数学

考核要求：闭卷笔试，总评成绩为期末考试成绩与平时成绩结合

使用教材及主要参考书：

梁保松、陈涛主编，《高等数学》，中国农业出版社，2002年

同济大学主编，《高等数学》，高等教育出版社，2002年

赵翠萍、马志宏主编，《高等数学同步辅导》，南开大学出版社，2006年

一、课程的性质与任务

高等数学是为高等农业院校农科类各专业学生开设的一门重要基础课程.它是学生掌握数学工具的主要课程,是培养学生理性思维的重要载体.通过学习使学生掌握相关的基础知识、基本理论,有较熟练的运算技能,并能运用数学分析的方法和原理解决实际问题. 以培养高级农业科研人才和应用型人才,为实现农业现代化服务.

二、教学目的与基本要求

教学目的：通过本门课程的教学,不仅使学生掌握高等数学的基础知识和基本技能,为学习其他相关课程打基础;而且使学生掌握数学的思维方式和特点,培养学生应用数学的意识,为终身学习打下扎实的基础.

基本要求：（1）知识目标：理解函数的概念及性质;掌握函数的表示法,掌握极限的定义;掌握导数和变化率之间的关系；掌握定积分和求和的关系；熟练进行求极限、求导、不定积分、定积分等各种运算;掌握多元函数的求导法，熟练地进行二重积分运算；掌握微分方程的相关概念,熟练的解简单微分方程;（2）能力目标：能够较好地将高等数学知识运用到函数作图、求面积、求体积、求极值等各种应用中, 掌握用微分方程解决一些简单的应用问题,培养学生分析问题、解决问题的能力及运用数学的意识.

三、学时分配

章节	课程内容	学时
1	函数的极限与连续	14
2	导数与微分	10
3	微分中值定理与导数的应用	10
4	不定积分	10
5	定积分	10
6	多元函数微分学	12
7	二重积分	6
8	常微分方程	8

四、教学中应注意的问题

（1） 初等数学知识与高等数学知识的衔接;

（2） 一元函数与多元函数的衔接，尤其一元函数微积分与多元函数微积分间的联系;

（3） 学生思维能力，计算能力的培养.

五、教学内容

第一章 极限与连续

1．基本内容：

第一节 函数的基本概念

一、函数定义

二、分段函数

三、复合函数

四、初等函数

第二节 数列极限

一、数列的概念

二、数列极限的定义

三、数列极限的性质

第三节 函数的极限

一、自变量趋向于无穷大时函数的极限

二、自变量趋向于有限值时函数的极限

三、函数极限的性质

第四节 无穷小量和无穷大量

一、无穷小量

二、无穷大量

第五节 函数极限的运算法则

第六节 两个重要极限

第七节 无穷小量的比较

第八节 函数的连续性与间断点

一、函数的连续性

二、函数的间断点

第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性

一、连续函数的运算

二、初等函数的连续性

三、利用函数的连续性求极限

四、闭区间上连续函数的性质

2．教学基本要求：

(1) 使学生理解函数的相关概念,掌握基本初等函数的性质及其图形;

(2) 使学生理解极限的概念,掌握极限的性质及四则运算法则,能熟练的求函数及数列的极限;

(3) 使学生理解无穷小和无穷大的概念,掌握无穷小的比较方法,会用等价无穷小求极限;

(4) 使学生理解函数连续性的概念,会判别函数间断点的类型,了解闭区间上连续函数的性质,并会应用这些性质.

3．教学重点难点：求极限的方法，函数的连续性与间断点。

第二章 导数与微分

1．基本内容：

第一节 导数的概念

一、问题的提出

二、导数的定义

三、导数的几何意义

四、可导与连续的关系

第二节 函数的求导法则

一、函数的和、差、积、商的求导法则

二、反函数的求导法则

三、复合函数的求导法则

第三节 高阶导数

第四节 隐函数及参数方程所确定的函数的导数

一、隐函数的导数

二、参数方程所确定的函数的导数

第五节 函数的微分

一、微分的概念

二、微分的几何意义

三、微分基本公式和微分运算法则

四、高阶微分

五、微分的简单应用

2．教学基本要求：

(1) 使学生理解导数和微分的概念,理解导数的几何意义,理解函数的可导性与连续性之间的关系;

(2) 使学生掌握导数和微分的四则运算法则,掌握基本初等函数的导数公式,会熟练的求函数的导数及微分;

(3) 使学生了解高阶导数的概念,会求简单函数的阶导数;

(4) 使学生掌握求分段函数的导数的方法;

(5) 使学生会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶和二阶导数,会求反函数的导数.

3．教学重点难点：函数的导数与微分，分段函数、隐函数和由参数方程所确定的函数的导数，高阶导数

第三章 微分中值定理与导数的应用

1．基本内容：

第一节 微分中值定理

一、费尔马定理

二、罗尔定理

三、拉格朗日定理

四、柯西中值定理;

第二节 洛必达(L`Hospital)法则

第三节 泰勒公式

第四节 函数的增减性

第五节 函数的极值

第六节 函数的最大值和最小值

第七节 函数作图法

一、函数图形的凹凸与拐点

二、曲线的渐近线

三、函数图形的描绘

2．教学基本要求：

(1) 使学生理解并会运用罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理,了解柯西定理;

(2) 使学生掌握用洛必达(L`Hospital)法则求未定式极限的方法;

(3) 使学生熟练掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法,掌握函数的最大值和最小值的求法及其简单的应用;

(4) 使学生掌握用导数判断函数图形的凹凸性,会求函数图形的拐点及渐近线,会描绘函数的图形.

3．教学重点难点：用洛必达(L`Hospital)法则求未定式极限，利用导数判断函数性状，利用中值定理证明不等式、判断方程根的情况。

第四章 不定积分

1．基本内容：

第一节 原函数与不定积分

一、原函数

二、不定积分

三、不定积分的几何意义

四、基本积分公式和不定积分的基本性质

第二节 换元积分法

一、第一换元积分法

二、第二换元积分法

第三节 分部积分法

第四节 几种特殊类型函数的积分

一、有理函数的不定积分

二、三角函数有理式的积分

三、简单无理函数的积分

第五节 不定积分的应用

一、不定积分在生物科学中的应用

2．教学基本要求：

(1) 使学生理解原函数和不定积分的概念;

(2) 使学生掌握不定积分的基本公式,掌握换元积分法及分部积分法,能熟练的求各类函数的不定积分.

3．教学重点难点：不定积分的计算方法.

第五章 定积分

1．基本内容：

第一节 定积分的概念与性质

一 、定积分问题举例

二、定积分的定义

三、定积分的几何意义

四、定积分的性质

第二节 微分基本公式

一、 积分上限的函数

二、牛顿—莱布尼茨公式

第三节 定积分的换元积分法与分部积分法

一、换元积分法

二、分部积分法

第四节 无穷区间上的广义积分.

第五节 定积分的应用

一、元素法

二、平面图形的面积

三、旋转体的体积

2．教学基本要求：

(1) 使学生理解定积分的概念,掌握定积分的性质及中值定理;

(2) 使学生能熟练的运用各种方法求函数的定积分;

(3) 使学生了解无穷区间上广义积分的概念并会计算;

(4) 使学生掌握定积分的元素法;

(5) 使学生掌握用定积分表达和计算平面图形的面积、旋转体的体积.

3． 教学重点难点：求函数的定积分的方法，积分上限的函数及其导数，无穷区间上广义积分；计算平面图形的面积、旋转体的体积.

第六章 多元函数微分学

1．基本内容：

第一节 空间解析几何简介

第二节 多元函数

一、 区域

二 、二元函数

第三节 二元函数的极限与连续性

一、 二元函数的极限

二、 二元函数的连续性

第四节 偏导数

一、偏导数的概念

二、二元函数偏导数的几何意义

三、高阶偏导数

第五节 全微分

一、全微分的定义

第六节 复合函数与隐函数的微分法

一、多元复合函数的求导法则

二、隐函数的求导法则

第七节 多元函数的极值及其应用

一、极值的概念

二、条件极值

2．教学基本要求：

(1) 使学生了解多元函数的概念,了解二元函数的几何意义;

(2) 使学生了解二元函数的极限与连续性的概念,以及有界闭区域上连续函数的性质;

(3) 使学生理解多元函数偏导数和全微分的概念,会求多元复合函数的一阶、二阶偏导数及全微分，掌握隐函数的求导法则;

(4) 使学生了解多元函数极值和条件极值的概念,掌握多元函数极值存在的必要条件,了解二元函数极值存在的充分条件,会求二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值,会求简单多元函数的最大值和最小值,并会解决一些简单的应用问题.

3．教学重点难点、重点：多元函数偏导数与全微分的求解方法及其应用；难点：多元函数偏导数存在、可微分、连续间的关系。

第七章 二重积分

1．基本内容：

第一节 二重积分的概念与性质

一、二重积分的定义

二、二重积分的性质

第二节 直角坐标系下二重积分的计算

第三节 二重积分的换元法

2．教学基本要求：

(1) 使学生了解二重积分的概念和性质,了解二重积分的中值定理;

(2) 使学生掌握二重积分的计算方法.

3. 教学重点难点：二重积分的计算.

第八章 常微分方程

1. 基本内容：

第一节 微分方程的基本概念

第二节 一阶微分方程

一、可分离变量的微分方程

二、 齐次微分方程

三、一阶线性微分方程

第三节 可降阶的高阶微分方程

一、型的微分方程

第四节 二阶常系数齐次线性微分方程

一、二阶常系数齐次线性微分方程

2. 教学基本要求：

(1) 使学生了解微分方程的相关概念;

(2) 使学生掌握可分离变量的微分方程和齐次方程、一阶线性微分方程的解法;

(3) 使学生会用降阶法解微分方程:

(4) 使学生理解线性微分方程解的性质及解的结构定理;

(5) 使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法.;

(6) 使学生会用微分方程解决一些简单的应用问题.

3. 教学重点难点：可分离变量的微分方程、齐次方程、一阶线性微分方程、二阶常系数齐次线性微分方程.